Persamaan lingkaran yang melalui titik a min 2 4 dan B 5 2 dimana AB merupakan diameter lingkaran

Salam Para Bintang

Setelah kita membahas materi
Persamaaan Lingaran yang berpusat O(0,0), selanjutnya kita membahas materi Persamaan Lingkarang dengan pusat A(p,q). Apa sih bedanya? Perbedaannya tidak jauh sekali. Untuk itu, kalian wajiba menguasai materi awal tersebut agar semakin paham materi ini ya. Langsung saja kita membahas materinya!

A. Persamaan Lingkaran dengan pusat A(p,q)

Coba perhatikan gambar berikut!

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik, dalam hal ini adalah titik A (p,q) dan titik P(x,y) yaitu:

maka diperoleh:

karena AP merupakan jari-jari r

Dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan, maka:

Jadi, p
ersamaan lingkaran dengan pusat A(p,q) dengan jari-jari r dapat dinyatakan bentuk persamaan:

Untuk memahami persamaan ligkaran di atas, perhatikamn contoh berikut:

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(2,-2) dengan jari-jari lingkaran 4 cm.

Penyelesaian:

Diketahui pusat A(2,-2) dan r = 4, maka persamaan lingkarannya adalah:

Subsitusi p =2 , q = -2 , dan r = 4 maka:

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dari persamaan lingkaran yang berpusat di A(p,q) dengan jari-jari r yaitu:

diperoleh b
entuk umum persamaan lingkaran yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan:

Dengan memisalkan bahwa : A=-2px dan B= -2qy dan

Sehingga diperoleh bentuk persamaan lingkaran:

diperoleh:

dan jari-jari adalah:

Contoh 2:

Persamaan lingkaran secara umum dengan pusat A(2,4) yang berjari-jari 5 cm adalah…..

Penyelesaian:

Diketahui pusat A(2,3) dan r = 5, maka:

Dalam menentukan persamaan lingkaran, perlu kita pahami juga bagaimana menentukan panjang jari-jari:

1. Lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu x maka:

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu y maka:

Jari- jari lingkaran dengan pusat A(p,q), jika menyinggung sumbu x dan sumbu y maka:

Contoh 3:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(-3,-4) dimana lingkaran menyinggung sumbu x

Penyelesaian:

Diketahui pusat lingkaran A(-3,-4) dan menyinggung sumbu x , maka r = I-4I=4

sehingga diperoleh persamaan lingkaran:

Contoh 4:

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat A(1,3) dimana lingkaran menyinggung sumbu y

Penyelesaian:

Diketahui pusat lingkaran A(1,3) dan menyinggung sumbu y , maka r = I1I=1

sehingga diperoleh persamaan lingkaran:

2. Lingkaran pusat A(p,q) menyinggung garis ax+by+c = 0

Lingkaran dengan pusat A(p,q) menyinggung sebuah garis ax + by + c = 0, dapat diperoleh jari-jarinya. Perhatikan gambar berikut:

Jari-jari dapat diperoleh dengan rumus:

Contoh 5:

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,-2) dan menyinggung garis 3x-4y+7=0 adalah….

Penyelesaian:

Diketahui bahwa lingkaran dengan titik pusat (5,-2) dan menyinggung garis 3x-4y+7=0

Pertama, kita menentukan jari-jari lingkaran tersebut dengan menggunakan rumus:

sehingga diperoleh:

Dengan diperolehnya jari-jari yaitu 6, maka persamaan lingkaran dengan pusat A(5,-2) dengan jari -jari 6 adalah:

3. Lingkaran dengan pusat A(p,q) melalui 2 titik yaitu yang merupakan diameter MN dirumuskan dengan:

Perhatikan gambar berikut:

Untuk menentukan pusat lingkaran A(p,q) dilakukan:

Contoh 6:

Jika diketahui A(-5,3) dan B (3,3) merupakan diameter lingkaran,tentukan persamaan lingkaran tersebut?

Penyelesaian:

Pertama, kita tentukan pusat :

Pusat adalah (-1,3)

Kedua, jari-jari diperoleh:

Sehingga persamaan lingkarannya dengan pusat (-1,3) dan jari-jari = 4 adalah:

C. Menentukan Persamaan Lingkaran, jika lingkaran tersebut melalui tiga titik sembarang.

Untuk menentukan persamaan lingkaran, jika lingkaran tersebut  melalui 3 titik sembarang maka yang dilakukan adalah
mensubsitusi
ketiga titik tersebut ke persamaan umum lingkaran yaitu:

sehingga diperoleh nilai A, B dan nilai C yaitu dengan cara eliminasi 3 persamaan linier 3 varibel. Sehingga, diperoleh persamaan lingkaran tersebut dengan mensubsitusikan kembali nilai A, B dan C ker persamaan lingkaran yang awal.

Contoh 7:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (1,-1), (1,5) dan (4,2)!

Penyelesaian:

Diketahui persamaan umum lingkaran x
2
 + y
2
 + Ax + By + C = 0

Melalui titik (1,-1)

⇒ (1)2 + (-1)2 + A(1) + B(-1) + C = 0

⇔ 1 + 1 + A – B + C = 0

⇔ 2 + A – B + C = 0

⇔
A – B + C = –2
………………….(1)

Melalui titik (1,5)

⇒ (1)
2
 + (5)
2
 + A(1) + B(5) + C = 0

⇔ 1 + 25 + A +5B + C = 0

⇔ 26 + A + 5B + C = 0

⇔
A + 5B + C = –26
………………….(2)

Melalui titik (4,2)

⇒ (4)
2
 + (2)
2
 + A(4) + B(2) + C = 0

⇔ 16 + 4 + 4A +2B + C = 0

⇔ 20 + 4A + 2B + C = 0

⇔
4A + 2B + C = –20
…………………(3)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

dari persamaan (1) dan (3) diperoleh:

A = –2 dan B = –4 disubtitusi ke persamaan (1), diperoleh:

     A -B + C = -2

 -2 -(-4) + C = -2

     -2+4 + C = -2

                 C = -4

diperoleh nilai A = -2, B = -4 dan C = – 4, maka persamaan lingkaran yang diperoleh adalah:

  x
2
 + y
2
 -2x -4y -4 = 0

Contoh 8:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,-1) , (5,3) dan (6,2) kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran adalah x² + y² + ax + by + c = 0

Melalui (3,-1) maka ;

        x² + y² + ax + by + c = 0

3² + (-1)² + a.3 + b.(-1) + c = 0

             9 + 1 + 3a – b + c = 0

                 3a – b + c + 10 = 0 ………. (1)

Melalui (5,3) maka ;

  x² + y² + ax + by + c = 0

5² + 3² + a.5 + b.3 + c = 0

  25 + 9 + 5a + 3b + c = 0

        5a + 3b + c + 34 = 0 ………. (2)

Melalui (6,2) maka ;

x² + y² + ax + by + c = 0

6² + 2² + 6a + 2b + c = 0

36 + 4 + 6a + 2b + c = 0

      6a + 2b + c + 40 = 0 ………. (3)

Dari persamaan (1) dan (2) :

    3a – b + c + 10 = 0

 5a + 3b + c + 34 = 0
& nbsp; -2a – 4b + 0 – 24 = 0

        a + 2b + 12 = 0 ………. (4)

Dari persamaan (2) dan (3) :

 5a + 3b + c + 34 = 0

 6a + 2b + c + 40 = 0
            -a + b – 6 = 0

             a – b + 6 = 0 ………. (5)

Dari persamaan (4) dan (5) :

a + 2b + 12 = 0

    a – b + 6 = 0
       3b + 6 = 0

               b = -2

b = -2 disubstitusikan ke persamaan (5) :

 a – b + 6 = 0

a + 2 + 6 = 0

      a + 8 = 0

            a = -8

a = -8 , b = -2 disubstitusikan ke persamaan (1) :

        3a – b + c + 10 = 0

3(-8) – (-2) + c + 10 = 0

      -24 + 2 + c + 10 = 0

                             c = 12

Jadi persamaan lingkaran adalah :

x² + y² + ax + by + c = 0

x² + y² – 8x – 2y + 12 = 0

Maka diperoleh :

2A = -8           2B = -2           C = 12

  A = -4            B = -1



r = √A² + B² – C

  = √(-4)² + (-1)² – 12

  = √16 + 1 – 12 = √5

Jadi, pusat (-A,-B) = (4,1) dan jari-jari r = √5

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,0) , (0,4) dan (0,-4) !

Lingkaran tersebut melewati tiga koordinat titik, sehingga akan disubstitusikan koordinat titik – titik tersebut untuk menentukan nilai a, b dan c yang membentuk persamaan lingkaran.

x² + y² + Ax + By + C = 0

(-4)² + (0)² + a(-4) + b(0) + c = 0

16 – 4A + C = 0 atau -4A + C = -16 atau4A – C = 16 (persamaan 1)

x² + y² + Ax + By + C = 0

(0)² + (4)² + A(0) + B(4) + C = 0

16 + 4B + C = 0 atau4B+ C = -16 (persamaan 2)

x² + y² + Ax + By + C = 0

(0)² + (-4)² + A(0) + B(-4) + C = 0

16 – 4B + C = 0 atau -4B + C = -16 atau4B – C = 16 (persamaan 3)

Kemudian, eliminasi persamaan 2 dan 3 untuk menentukan nilai B.

4B + C = -16

4B – C = 16 +

8B = 0

B = 0

Substitusikan nilai b ke persamaan 2.

4B + C = -16

4(0) + C= -16

C = -16

Substitusikan nilai c ke persamaan 1.

4A – C = 16

4A – (-16) = 16

4A + 16 = 16

4A = 0

A = 0

Nilai A = 0, B = 0 dan C = -16, maka persamaan lingkarannya adalah :

x² + y² + Ax + By + C = 0

x² + y² – 16= 0