Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah
Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2π
Jawab
:
2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2π
Misalkan cos x = p, sehingga diperoleh:
Jadihimpunan penyelesaian dari
2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤x ≤ 2π adalah
{2/3
π,
4/3
π}.
—————-#—————-
Jangan lupa komentar & sarannya
Email:
Kunjungi terus:masdayat.net OK! 🙂
1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
3. Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3
B. {90°, 150°, 450°, 510°}
4. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos [x − 30°] = 1/2 √2
5. Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π adalah…..
6. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
7. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
8. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
9. Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤
360° adalah….
10. Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = ½
A. {1
5
o
, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
B. {10o, 50o, 1
6
0o, 170o, 250o, 290o}
C. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
D. {10o, 60o, 130o, 170o, 250o, 290o}
E. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o,
34
0o}
11. Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari cos 5x = 1/2 √2
A. {
10
o
, 63o, 81o, 135o, 153o}
B. {9o, 63o, 91o, 135o, }
C. {9o, 63o, 81o, 135o, 153o}
12. Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3
0 ≤ x ≤ 360 adalah ….
A. {15o, 60o,145o,150o,195o,240o,285o,330o}
B. {15o, 60o,105o,150o,185o,240o,285o,330o}
C. {25o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}
D. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}
E. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,340o}
13. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
A. {30o, 90o, 162o, 234o, 306o}
B. {18o, 120o, 162o, 234o, 306o}
C. {18o, 90o, 162o, 244o, 306o}
D. {28o, 90o, 192o, 234o, 306o}
E. {18o, 90o, 162o, 234o, 306o}
14. Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x dengan 0
o
≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …
A. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}
B. {15o, 30o, 90o, 115o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 3
2
0o}
C. {
2
5o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 2
4
0o, 270o, 285o, 300o}
D. {15o, 30o,
8
0o, 105o, 1
5
0o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}
E. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 3
4
0o}
15. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos
[2x − 60] = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°
E. 90°
16. Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + cos
x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. {45°, 120°} B. {45°, 135°} C. {60°, 135°} D. {60°, 120°}
E. {60°, 180°}
17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos
2x − 3 cos
x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….
A. {0°, 60°, 120°} B. {60°, 120°, 180°} C. {60°, 180°, 360°} D. {0°, 60°, 120°, 180°}
E. {0°, 60°, 300°, 360°}
18. Nilai x yang memenuhi persamaan cos
2x − sin
x
= 0 untuk 0° < x < 360° adalah ….
A. {30°, 150°} B. {30°, 270°} C. {30°, 150°, 180°} D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
19. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos
4x + 3 sin
2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah
A. {120°, 105°} B. {105°, 165°} C. {30°, 105°} D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}
20. Diketahui persamaan trigonometri √2 sin x + 1 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π
21.
Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…
22.
Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah…
23.
Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…
24.
Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…
25.Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri
[1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] adalah…
26. nilai dari [sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α adalah….
27.
Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri
1 – cos2 β
adalah…
28.
Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri
sin2 α – cos2 α
adalah…
29. Bentuk
sederhana dari bentuk trigonometri
tan2 α – 1
adalah…
30. Bentuk
sederhana dari bentuk trigonometri
sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α
adalah…
1.
Diberikan persamaan trigonometri 2 cos [3x + 30]^o = √3. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
2.
Diketahui persamaan trigonometri tan [2x – 40] – cot 50 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
3.
Diketahui persamaan trigonometri sin [2x + 120] – sin [2x + 240] = – 3/2. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah..
4.
Diketahui sistem persamaan sin x + sin y = 1 dan
x + y = 60 Himpunan penyelesaian umum untuk
5.
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos
2x − 3 cos
x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah
6.
Buktikan identitas trigonometri
1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
adalah
7.
Buktikan identitas trigonometri
3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α
adalah
8.
Buktikan identitas trigonometri
3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α
adalah
9.
Dengan menggunakan rumus sin
2
α + cos
2
α = 1, buktikan bahwa 1 + tan
2
α = sec2 α.
10.
Dari rumus sin2 α + cos2 α = 1, tunjukkan bahwa 1 + cot2 α = cosec2 α
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30° Dengan pola rumus yang pertama di atas:
⋅
360 k = 0 → x = 30 + 0 = 30 ° k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
[ii] x = [180 − 30] + k
⋅
360
x = 120 + k
⋅
360
x = 150 + k
⋅
360 k = 0 → x = 150 + 0 = 150 ° k = 1 → x = 150 + 360 = 510 ° Dari penggabungan hasil [i] dan hasil [ii], dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1/2 adalah nilai cosinus dari 60°. Sehingga cos x = cos 60°
⋅
360° k = 0 → x = 60 + 0 = 60 ° k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
[ii] x = −60° + k
⋅
360
x = −60 + k
⋅
360 k = 0 → x = −60 + 0 = −60° k = 1 → x = −60 + 360° = 300° Himpunan penyelesaian yang diambil adalah: HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3
Pembahasan
1/2 √3 miliknya sin 60° Sehingga
sin [x − 30] = sin 60°
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos [x − 30°] = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah….. A. {π/2, 4π/3, 5π/3} B. {π/2, 7π/6, 4π/3} C. {π/2, 7π/6, 5π/3} D. {π/2, 7π/6, 11π/6} E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
cos 2x = cos2 x − sin2x
cos 2x = 2 cos2 x − 1
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0 Faktorkan: [2sin x + 1][sin x − 1] = 0 2sin x + 1 = 0 2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330° atau sin x − 1 = 0 sin x = 1 x = 90° Sehingga: HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat. HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + 5 sin x + 2 = 0
untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah… A. {2π/3,4π/3} B. {4π/3, 5π/3} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
untuk 0 < x < 2π adalah… A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 11π/6} C. {π/3, 2π/3} D. {π/3, 5π/3} E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan: [2cos x − 1][cos x − 1] = 0 [2cos x − 1] = 0 2cos x = 1 cos x = 1/2 x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3 atau [cos x − 1] = 0 cos x = 1 x = 0° dan x = 360° = 2π [Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π] Jadi HP = {π/3, 5π/3} Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah… A. {150°,165°} B. {120°,150°} C. {105°,165°} D. {30°,165°} E. [15°,105°]
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah…. A. {30°, 90°, 150°} B. {30°, 120°, 240°} C. {30°, 120°, 300°} D. {30°, 150°, 270°} E. {60°, 120°, 270°}
[UN Matematika SMA IPA 2014]
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal. Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 [30°] − 3 sin [30°] + 1 = ? = 2 [1/2]2 − 3 [1/2] + 1
= 0 [Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.] Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 [1]2 − 3 [1] + 1 = 2 − 3 + 1
= 0 [Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°]
Untuk 0
o
≤ x ≤ 360
o
tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2
Jawab :
sin 3x = 1/2
sin 3x = sin 30
o
3x = 30
o
+ n.360
o
x = 10
o
+ n.120
o
untuk n = 0 maka x = 10
o
untuk n = 1 maka x =130
o
untuk n = 2 maka x =250
o
3x = 180
o
– 30
o
+ n.360
o
x = 50
o
+ n.120
o
untuk n = 0 maka x = 50
o
untuk n = 1 maka x = 170
o
untuk n = 2 maka x = 290
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10
o
, 50
o
, 130
o
, 170
o
, 250
o
, 290
o
}
Untuk 0
o
≤ x ≤ 180
o
tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2
Jawab :
cos 5x = 1/2 √2
cos 5x = cos 45
o
5x = 45
o
+ n.360
o
x = 9
o
+ n.72
o
untuk n = 0 maka x =9
o
untuk n = 1 maka x =81
o
untuk n = 2 maka x =153
o
5x = -45
o
+ n.360
o
x = -9
o
+ n.72
o
untuk n = 1 maka x = 63
o
untuk n = 2 maka x = 135
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9
o
, 63
o
, 81
o
, 135
o
, 153
o
}
Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3 0
o
≤ x ≤ 360
o
adalah ….
tan 4x = √3
tan 4x = tan 60
o
4x = 60
o
+ n.180
o
x = 15
o
+ n.45
o
untuk n = 0 maka x = 15
o
untuk n = 1 maka x = 60
o
untuk n = 2 maka x = 105
o
untuk n = 3 maka x = 150
o
untuk n = 4 maka x = 195
o
untuk n = 5 maka x = 240
o
untuk n = 6 maka x = 285
o
untuk n = 7 maka x = 330
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15
o
, 60
o
, 105
o
, 150
o
, 195
o
, 240
o
, 285
o
, 330
o
}
Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x
dengan 0
o
≤ x ≤ 360
o
adalah …
sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin [90
o
– 2x]
3x = 90
o
– 2x + n.360
o
5x = 90
o
+ n.360
o
x = 18
o
+ n.72
o
untuk n = 0 maka x = 18
o
untuk n = 1 maka x = 90
o
untuk n = 2 maka x = 162
o
untuk n = 3 maka x = 234
o
untuk n = 4 maka x = 306
o
3x = 180
o
– [90
o
– 2x] + n.360
o
3x = 90
o
+ 2x + n.360
o
x = 90
o
+ n.360
o
untuk n = 0 maka x = 90
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18
o
, 90
o
, 162
o
, 234
o
, 306
o
}
Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0
o
≤ x ≤ 360
o
. Himpunan penyelesaiannya adalah …
sin 5x + sin 3x = √3 cos x 2 sin 1/2 [5x + 3x] cos 1/2 [5x – 3x] = √3 cos x 2 sin 4x cos x = √3 cos x 2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0 cos x [ 2 sin 4x – √3] = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3
cos x = 0
cos x = cos 90
o
x = 90
o
+ n.360
o
untuk n = 0 maka x = 90
o
x = -90
o
+ n.360
o
untuk n = 1 maka x = 270
o
sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60
o
4x = 60
o
+ n.360
o
x = 15
o
+ n.90
o
untuk n = 0 maka x = 15
o
untuk n = 1 maka x = 105
o
untuk n = 2 maka x = 195
o
untuk n = 3 maka x = 285
o
4x = 180
o
– 60
o
+ n.360
o
4x = 120
o
+ n.360
o
x = 30
o
+ n.90
o
untuk n = 0 maka x = 30
o
untuk n = 1 maka x = 120
o
untuk n = 2 maka x = 210
o
untuk n = 3 maka x = 300
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15
o
, 30
o
, 90
o
, 105
o
, 120
o
, 195
o
, 210
o
, 270
o
, 285
o
, 300
o
}
Langkah pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.
2 cos
[2x − 60] = √3
cos
[2x − 60] = ½√3
Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.
cos
[2x − 60°] = cos
30
°
2x − 60° = 30° 2x = 90° x = 45°
Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45°
2 cos^2x -1 + cos x = 0 2 cos^2x + cos x – 1 = 0 Difaktorkan … [2 cos x – 1 ][cos x + 1] = 0 2 cos x = 1 atau cos x = -1 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2 ..
x = [
60o
180o
]
Himpunan penyelesaian dari x
:
Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x ≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.
cos
2x
− 3 cos
x + 2 = 0
2 cos2
x − 1
− 3 cos
x
+ 2 = 0
2 cos2
x
− 3 cos
x + 1 = 0
[2 cos
x − 1][cos
x
− 1] = 0
cos
x = ½ atau cos
x
= 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos
x
= ½
cos
x = cos
60
°
K. I
:
x = 60°
K. IV : x = 360° − 60° = 300°
cos
x = 1
cos
x = cos
0
°
K.I
:
x = 0°
K.IV : x = 360° − 0° = 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} [E].
Soal ini agak sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga cos
2x harus diubah seperti rumus II.
cos
2x
− sin
x
= 0
1 − 2 sin2
x
− sin
x
= 0
−2 sin2
x
sin
x + 1 = 0
2 sin2
x
+ sin
x
− 1 = 0
[2 sin
x − 1][sin
x + 1] = 0
sin
x
= ½ atau sin
x
= −1 Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.
sin
x = ½
sin
x = sin 30° K. I : x = 30°
K. II : x = 180° − 30° = 150° Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.
sin
x
= −1
sin
x = −sin 90°
K.III : x = 180° + 90° = 270°
K.IV : x = 360° − 90°
= 270°
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} [E].
Untuk menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!
cos
2x = 1 − 2 sin2
1x
cos
4
x
= 1 − 2 sin2
2x Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:
cos
4x
+ 3 sin
2x = −1
1 − 2 sin2
2x
+ 3 sin
2x = −1
−2 sin2
2x + 3 sin
2x + 2 = 0
2 sin2
2x − 3 sin
2x − 2 = 0
[2 sin
2x + 1][sin
2x − 2] = 0
sin
2x = −½ atau sin
x = 2 [TM] TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.
Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.
Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.
sin
2x = −½
sin
2x = −sin 30°
K.III : 2x = 180° + 30° = 210°
x = 105°
K.IV : 2x = 360° − 30° = 330°
x = 165°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°}
sin x = – 1/
√
2 = – 1/2
√
2
x = 5π/4 + k . 2π atau x = [π – 5π/4] + k . 2π
x = 5π/4 + k . 2π atau x = – π/4 + k . 2π
k = 0 maka x = 5π/4 + 0 . 2π = 5π/4 dan x = – π/4 + 0 . 2π = – π/4
k = 1 maka x =13π/4 dan x = 7π/4
Jadi himpunan penyelesaiannya {5π/4, 7π/4}
[-
π
/4 dan 13
π
/4 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0
≤
x
≤
2
π
]
Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…
cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°
= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
= cos²[90-75]° + cos²75° + cos²[90-55]° + cos²55°
= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
= 1 + 1 = 2
——-> [identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]
Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah…
sin[x-600]° = cos[x-450]°
sin[x-600]° = sin[90 – [x-450]]°
sin[x-600]° = sin[540 – x]°
= tan [360 + 210]° = tan 210°
= tan [180 + 30]° —–> Kuadran III
Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…
[sinx + cosx]² = [-1/5]² —–> [Kuadratkan kedua ruas.]
sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1 + 2sinxcosx = 1/25 —–> [Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]
[aturan sudut rangkap sin
2x = 2
sin
x
cos
x].
Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…
[mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx].
sinx = 0 atau -2sinx – 3 = 0
sin x = 0 atau sinx = -3/2
[sinx = -3/2 tidak memenuhi]
maka nilai tan x = tan 0° = 0
Dari pecahan [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β], sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
cot β . sec2 β = [cos β/ sinβ] . sec2 β
⇒
cot
β
. sec2
β
= [cos
β
/ sin
β
].[1/cos2
β
]
⇒
cot
β
. sec2
β
= cos
β
/ sin β.cos2 β
Setelah digabung kembali diperoleh :
[1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = [1/sin2 β] / [cos β / sinβ.cos2 β]
⇒
[1 + cot2
β
] / [cot
β
. sec2
β
] = [1/sin2
β
] . [sin
β
.cos2
β
/ cos
β
]
⇒
[1 + cot2
β
] / [cot
β
. sec2
β
] = sin
β
.cos2
β
/ sin2
β
.cos β
⇒
[1 + cot2
β
] / [cot
β
. sec2
β
] = cos
β
/ sin
β
⇒
[1 + cot2
β
] / [cot
β
. sec2
β
] = cot
β
Jadi, [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] =
cot β.
Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
[sin α – cos α]2 = sin2 α – 2 sin α. cos α +
cos2 α
⇒
[sin
α
– cos
α
]2 = sin2
α
+
cos2
α
– 2 sin
α
. cos
α
⇒
[sin
α
– cos
α
]2 = 1 – 2 sin
α
. cos
α
[sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α = 1 – 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
⇒
[sin
α
– cos
α
]2 + 2 sin
α
cos
α
= 1
Jadi, [sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α =
1.
Dari identitas sin2 β + cos2 β = 1, maka diperoleh :
⇒
1 – cos2 β = sin2 β
Jadi, 1 – cos2 β =
sin2 β.
Dari identitas sin2 α + cos2 α = 1, maka sin2 α = 1 – cos2 α.
⇒
sin2 α – cos2 α = 1 – cos2 α – cos2 α
⇒
sin2 α – cos2 α = 1 – 2 cos2 α Karena 2 cos2 α – 1 = cos 2α, maka 1 – 2 cos2 α = – cos 2α.
⇒
sin2 α – cos2 α = -cos 2α
Jadi, sin2 α – cos2 α =
-cos 2α.
Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α – 1
⇒
tan2 α – 1 = sec2 α – 1 – 1
⇒
tan2 α – 1 = sec2 α – 2
Sin2 α – 2 sin α cos α + sin2 α = sin2 α + cos2 α – 2 sin α cos α
⇒
sin2 α- 2 sin α cos α + cos2 α = 1 -2 sin α cos α
⇒
sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α = 1 – sin 2 α
Jadi, sin2 α -2 sin α cos α + cos2 α = 1 –sin 2 α
cos [3x + 30] = 1/2
√
3cos [3x + 30] = cos 30
3x + 30 = ±30 + k . 360
: 3
x = k . 120 atau x = – 20 + k . 120
k = 0 maka x = 0 dan x = – 20
k = 1 maka x = 120 dan x = 100
k = 2 maka x = 240 dan x = 220
k = 3 maka x = 360 dan x = 340
Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
2.
tan [2x – 40] – cot 50 = 0
tan [2x – 40] = cot [90 – 40]
Jadi himpunan penyelesaiannya {40, 130, 220, 310}
3.
Sin [A + B] – sin [A – B] = 2 cos A . cos B
sin [2x + 120] – sin [2x + 240] = 2 cos 1/2 [2x + 120 + 2x + 240] sin 1/2 92x + 120 – 2x – 240]
2 cos [2x + 180] sin [-60] = – 3/2
2 cos [2x + 180] . – 1/2
√
3 = – 3/2
cos [2x + 180] = 3/2
√
3 = 1/2
√
3
x = – 75 + k . 180 atau x = -105 + k . 180
k = 0 maka x = – 75 dan x = – 105
k = 1 maka x = 105 dan x = 75
k = 2 maka x = 285 dan x = 255
Jadi himpunan penyelesaiannya {75, 105, 255, 285}
4.
Sin A + sin B = 2 sin 1/2 [A + B] cos 1/2 [A – B]
sin x + sin y = 2 sin 1/2 [x + y] cos 1/2 [x – y] = 1
2 sin 1/2 . 60 cos 1/2 [x – y] = 1
2 sin 30 cos 1/2 [x – y] = 1
2 . 1/2 cos 1/2 [x – y] = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya {30 + k . 360, 30 – k . 360}
5.
cos
2x
− 3 cos
x + 2 = 0
2 cos2
x − 1
− 3 cos
x
+ 2 = 0
2 cos2
x
− 3 cos
x + 1 = 0
[2 cos
x − 1][cos
x
− 1] = 0
cos
x = ½ atau cos
x
= 1 Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos
x
= ½
cos
x = cos
60
°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60° = 300°
cos
x = 1
cos
x = cos
0
°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0° = 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
6.
1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
⇒
1/3 [sin2 α + cos2 α] = 1/3
⇒
1/3 [1] = 1/3
⇒
1/3 = 1/3
Terbukti.
7.
3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α
Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 – 3 sin2 α.
⇒
3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α
⇒
3 – 3 sin2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α
⇒
1 – 3 sin2 α = 1 – 3 sin2 α.
Terbukti.
8.
3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α
Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 – 5 cos2 α.
⇒
3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α
⇒
3 + 5 – 5 cos2 α = 8 – 5 cos2 α
⇒
8 – 5 cos2 α = 8 – 5 cos2 α.
Terbukti.
9.
Dari rumus tan α = sin α / cos α, diperoleh sin α = tan α . cos α.
⇒
[tan
α
. cos
α
]2 + cos2 α = 1
⇒
tan2 α . cos2 α + cos2 α = 1
⇒
[tan2 α + 1] cos2 α = 1
Ingat bahwa 1/cos α = sec α, sehingga :
⇒
tan2 α + 1 = sec2 α
⇒
1 + tan2 α = sec2 α
10.
Dari rumus cot α = cos α / sin α, diperoleh cos α = cot α . sin α.
⇒
sin2 α + [cot α . sin α]2 = 1
Ingat bahwa 1/sin α = cosec α, sehingga :
⇒
1 + cot2 α = cosec2 α Terbukti.
Sekian dan trimakasih, bila ada kesalahan mohon maaf
Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah
Posted by: pskji.org
