Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah

Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!


2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2π











Jawab

:











2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2π



Misalkan cos x = p, sehingga diperoleh:

Jadihimpunan penyelesaian dari

2 cos2 x – 5 cos x – 3 = 0, 0 ≤x ≤ 2π adalah
{2/3
π,
4/3
π}.

—————-#—————-

Jangan lupa komentar & sarannya

Email:

Kunjungi terus:masdayat.net OK! 🙂

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2



2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2

3. Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3

B. {90°, 150°, 450°, 510°}

4. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos [x − 30°] = 1/2 √2

5. Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π adalah…..


6. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…

7. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…


8. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…




9. Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤
360° adalah….





10. Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukan himpunan penyelesaian dari


sin 3x = ½



A. {1
5
o
, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

B. {10o, 50o, 1
6
0o, 170o, 250o, 290o}

C. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

D. {10o, 60o, 130o, 170o, 250o, 290o}

E. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o,

34
0o}

11. Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari cos 5x = 1/2 √2



A. {
10
o
, 63o, 81o, 135o, 153o}

B. {9o, 63o, 91o, 135o, }

C. {9o, 63o, 81o, 135o, 153o}

12. Himpunan penyelesaian dari persamaan


tan 4x = √3
0 ≤ x ≤ 360 adalah ….




A. {15o, 60o,145o,150o,195o,240o,285o,330o}

B. {15o, 60o,105o,150o,185o,240o,285o,330o}

C. {25o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}

D. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}

E. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,340o}

13. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …


A. {30o, 90o, 162o, 234o, 306o}

B. {18o, 120o, 162o, 234o, 306o}

C. {18o, 90o, 162o, 244o, 306o}

D. {28o, 90o, 192o, 234o, 306o}

E. {18o, 90o, 162o, 234o, 306o}

14. Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x dengan 0
o

≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …




A. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

B. {15o, 30o, 90o, 115o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 3
2
0o}

C. {
2
5o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 2
4
0o, 270o, 285o, 300o}

D. {15o, 30o,

8
0o, 105o, 1
5
0o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

E. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 3
4
0o}

15. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos

[2x − 60] = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….


A.   20° B.   30° C.   45° D.   60°

E.   90°

16. Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + cos
x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A.   {45°, 120°} B.   {45°, 135°} C.   {60°, 135°} D.   {60°, 120°}

E.   {60°, 180°}

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos


2x − 3 cos


x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….




A.   {0°, 60°, 120°} B.   {60°, 120°, 180°} C.   {60°, 180°, 360°} D.   {0°, 60°, 120°, 180°}

E.   {0°, 60°, 300°, 360°}

18. Nilai x yang memenuhi persamaan cos


2x − sin


x

= 0 untuk 0° < x < 360° adalah ….



A.   {30°, 150°} B.   {30°, 270°} C.   {30°, 150°, 180°} D.   {60°, 120°, 300°}

E.   {30°, 150°, 270°}

19. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos


4x + 3 sin


2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah




A.   {120°, 105°} B.   {105°, 165°} C.   {30°, 105°} D.   {30°, 165°}

E.   {15°, 105°}

20. Diketahui persamaan trigonometri √2 sin x + 1 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π


21.
Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…



22.

Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah…



23.

Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…


24.

Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…




25.Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri
[1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] adalah…



26. nilai dari [sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α adalah….

27.

Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri

1 – cos2 β

adalah…


28.

Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri

sin2 α –  cos2 α

adalah…


29. Bentuk

sederhana dari bentuk trigonometri

tan2 α – 1
adalah…


30. Bentuk

sederhana dari bentuk trigonometri


sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α

adalah…



        1.



Diberikan persamaan trigonometri 2 cos [3x + 30]^o = √3. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π   adalah…







        2.



Diketahui persamaan trigonometri tan [2x – 40] – cot 50 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…






       3.



Diketahui persamaan trigonometri sin [2x + 120] – sin [2x + 240] = – 3/2. Himpunan penyelesaian untuk          0 ≤ x ≤ 360 adalah..






       4.



Diketahui sistem persamaan sin x + sin y = 1 dan
x + y = 60 Himpunan penyelesaian umum untuk


       5.



Himpunan penyelesaian dari persamaan cos


2x − 3 cos


x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah









       6.



Buktikan identitas trigonometri

1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3

adalah




       7.



Buktikan identitas trigonometri

3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α

adalah



       8.



Buktikan identitas trigonometri

3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α

adalah



       9.



Dengan menggunakan rumus sin
2

α + cos

2

α = 1, buktikan bahwa 1 + tan

2

α = sec2 α.






      10.



Dari rumus sin2 α + cos2 α = 1, tunjukkan bahwa 1 + cot2 α = cosec2 α








Soal No. 1


Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2

Baca Juga :   Auto complete typing in an Excel data validation list


Pembahasan

Dari:

sin x = 1/2

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.

Sehingga

sin x = 1/2

sin x = sin 30° Dengan pola rumus yang pertama di atas:

360 k = 0 → x = 30 + 0 = 30 ° k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °

[ii] x = [180 − 30] + k


360
x = 120 + k


360

x = 150 + k

360 k = 0 → x = 150 + 0 = 150 ° k = 1 → x = 150 + 360 = 510 ° Dari penggabungan hasil [i] dan hasil [ii], dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {30°, 150°}



Soal No. 2


Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2


Pembahasan

1/2 adalah nilai cosinus dari 60°. Sehingga cos x = cos 60°

360° k = 0 → x = 60 + 0 = 60 ° k = 1 → x = 60 + 360 = 420°

[ii] x = −60° + k


360
x = −60 + k

360 k = 0 → x = −60 + 0 = −60° k = 1 → x = −60 + 360° = 300° Himpunan penyelesaian yang diambil adalah: HP = {60°, 300°}


Soal No. 3

Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3


Pembahasan

1/2 √3 miliknya sin 60° Sehingga

sin [x − 30] = sin 60°

Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}


Soal No. 4

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari

cos [x − 30°] = 1/2 √2


Pembahasan

Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°

HP = {75°, 345°}


Soal No. 5

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0

untuk 0 < x ≤ 2π adalah….. A. {π/2, 4π/3, 5π/3} B. {π/2, 7π/6, 4π/3} C. {π/2, 7π/6, 5π/3} D. {π/2, 7π/6, 11π/6} E. {π/2, 5π/3, 11π/6}


Pembahasan

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:


cos 2x = cos2 x − sin2x



cos 2x = 2 cos2 x − 1

cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0

1 − 2 sin2 x + sin x = 0

− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0

2 sin2 x − sin x − 1 = 0 Faktorkan: [2sin x + 1][sin x − 1] = 0 2sin x + 1 = 0 2sin x = −1

sin x = −1/2

x = 210° dan x = 330° atau sin x − 1 = 0 sin x = 1 x = 90° Sehingga: HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat. HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D.


Soal No. 6

Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + 5 sin x + 2 = 0
untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah… A. {2π/3,4π/3} B. {4π/3, 5π/3} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}


Pembahasan

Persamaan trigonometri:

Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x


Soal No. 7

Himpunan penyelesaian persamaan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
untuk 0 < x < 2π adalah… A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 11π/6} C. {π/3, 2π/3} D. {π/3, 5π/3} E. {2π/3, 4π/3}


Pembahasan

2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan: [2cos x − 1][cos x − 1] = 0 [2cos x − 1] = 0 2cos x = 1 cos x = 1/2 x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3 atau [cos x − 1] = 0 cos x = 1 x = 0° dan x = 360° = 2π [Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π] Jadi HP = {π/3, 5π/3} Jawaban: D


Soal No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah… A. {150°,165°} B. {120°,150°} C. {105°,165°} D. {30°,165°} E. [15°,105°]


Pembahasan

Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:

cos 4x + 3 sin 2x = −1

Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor



Jadi HP = {105°,165°}


Soal No. 9


Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤  360° adalah…. A. {30°, 90°, 150°} B. {30°, 120°, 240°} C. {30°, 120°, 300°} D. {30°, 150°, 270°} E. {60°, 120°, 270°}

[UN Matematika SMA IPA 2014]


Pembahasan

Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai  sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal. Persamaan di soal:

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

30° →  2 sin2 [30°] − 3 sin [30°] + 1 = ? = 2 [1/2]2 − 3 [1/2] + 1

= 0 [Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.] Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?

= 2 [1]2 − 3 [1] + 1 = 2 − 3 + 1

= 0 [Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°]

Untuk 0
o
 ≤ x ≤ 360
o
 tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2


Jawab :

sin 3x = 1/2

sin 3x = sin 30

o

3x = 30
o
 + n.360
o


x = 10

o
 + n.120
o


untuk n = 0 maka x = 10

o


untuk n = 1 maka x =130

o


untuk n = 2 maka x =250

o

3x = 180
o
 – 30
o
 + n.360
o


x = 50

o
 + n.120
o


untuk n = 0 maka x = 50

o


untuk n = 1 maka x = 170

o


untuk n = 2 maka x = 290

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10

o
, 50
o
, 130
o
, 170
o
, 250
o
, 290
o
}

Untuk 0
o
 ≤ x ≤ 180
o
 tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2


Jawab :

cos 5x = 1/2 √2

cos 5x = cos 45

o

5x = 45
o
 + n.360
o


x = 9

o
 + n.72
o


untuk n = 0 maka x =9

o


untuk n = 1 maka x =81

o


untuk n = 2 maka x =153

o

5x = -45
o
 + n.360
o


x = -9

o
 + n.72
o


untuk n = 1 maka x = 63

o


untuk n = 2 maka x = 135

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9

o
, 63
o
, 81
o
, 135
o
, 153
o
}

Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3        0

o
 ≤ x ≤ 360
o


adalah ….

tan 4x = √3
tan 4x = tan 60

o


4x = 60

o
 + n.180
o


x = 15

o
 + n.45
o


untuk n = 0 maka x = 15

o


untuk n = 1 maka x = 60

o


untuk n = 2 maka x = 105

o


untuk n = 3 maka x = 150

o


untuk n = 4 maka x = 195

o


untuk n = 5 maka x = 240

o


untuk n = 6 maka x = 285

o


untuk n = 7 maka x = 330

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15

o
, 60
o
, 105
o
, 150
o
, 195
o
, 240
o
, 285
o
, 330
o
}

Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x

dengan 0

o
 ≤ x ≤ 360
o
 adalah …

sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin [90

o
 – 2x]

3x = 90
o
 – 2x + n.360
o


5x = 90

o
 + n.360
o


x = 18

o
 + n.72
o


untuk n = 0 maka x = 18

o


untuk n = 1 maka x = 90

o


untuk n = 2 maka x = 162

o


untuk n = 3 maka x = 234

o


untuk n = 4 maka x = 306

o

Baca Juga :   Sebutkan keuntungan dan kerugian dalam melakukan proses produksi

3x = 180
o
 – [90
o
 – 2x] + n.360
o


3x = 90

o
 + 2x + n.360
o


x = 90

o
 + n.360
o


untuk n = 0 maka x = 90

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18

o
, 90
o
, 162
o
, 234
o
, 306
o
}

Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0

o
 ≤ x ≤ 360
o
 . Himpunan penyelesaiannya adalah …

sin 5x + sin 3x = √3 cos x 2 sin 1/2 [5x + 3x] cos 1/2 [5x – 3x] = √3 cos x 2 sin 4x cos x = √3 cos x 2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0 cos x [ 2 sin 4x – √3] = 0

cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3

cos x = 0
cos x = cos 90

o

x = 90
o
 + n.360
o


untuk n = 0 maka x = 90

o

x = -90
o
 + n.360
o


untuk n = 1 maka x = 270

o

sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60

o

4x = 60
o
 + n.360
o


x = 15

o
 + n.90
o


untuk n = 0 maka x = 15

o


untuk n = 1 maka x = 105

o


untuk n = 2 maka x = 195

o


untuk n = 3 maka x = 285

o

4x = 180
o
 – 60
o
 + n.360
o


4x = 120

o
 + n.360
o


x = 30

o
 + n.90
o


untuk n = 0 maka x = 30

o


untuk n = 1 maka x = 120

o


untuk n = 2 maka x = 210

o


untuk n = 3 maka x = 300

o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15
o
, 30
o
, 90
o
, 105
o
, 120
o
, 195
o
, 210
o
, 270
o
, 285
o
, 300
o
}

Langkah pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.

2 cos


[2x − 60] = √3

cos

[2x − 60] = ½√3

Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.

cos


[2x − 60°] = cos


30

°

2x − 60° = 30°                   2x = 90°                     x = 45°

Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45°

2 cos^2x -1 + cos x = 0 2 cos^2x + cos x – 1 = 0 Difaktorkan … [2 cos x – 1 ][cos x + 1] = 0 2 cos x = 1 atau cos x = -1 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2 ..

x = [

60o
180o
]
Himpunan penyelesaian dari x

:

Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x ≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.

cos


2x

− 3 cos



x + 2 = 0
2 cos2


x − 1

− 3 cos


x

+ 2 = 0
2 cos2


x

− 3 cos



x + 1 = 0
[2 cos



x − 1][cos


x

− 1] = 0
cos



x = ½ atau cos


x

= 1

Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.

cos


x

= ½

cos



x = cos



60

°


K. I



:







x = 60°

K. IV :       x = 360° − 60°                      = 300°

cos



x = 1
cos



x = cos



0

°


K.I



:







x = 0°

K.IV :       x = 360° − 0°                     = 360°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} [E].



Soal ini agak sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga cos

2x harus diubah seperti rumus II.

cos



2x


− sin


x

= 0

1 − 2 sin2


x

− sin


x

= 0

−2 sin2


x

sin



x + 1 = 0

2 sin2


x

+ sin


x

− 1 = 0

[2 sin



x − 1][sin



x + 1] = 0

sin


x

= ½ atau sin


x

= −1 Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.

sin



x = ½

sin

x = sin 30° K. I :       x = 30°

K. II :      x = 180° − 30°                   = 150° Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.

sin


x

= −1
sin

x = −sin 90°
K.III :        x = 180° + 90°                      = 270°

K.IV :        x = 360° − 90°

= 270°

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} [E].



Untuk menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!

cos



2x = 1 − 2 sin2

⁡⁡

1x

cos


4
x

= 1 − 2 sin2

2x Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:

cos



4x


+ 3 sin


2x = −1

1 − 2 sin2



2x

+ 3 sin


2x = −1

−2 sin2



2x + 3 sin


2x + 2 = 0

2 sin2



2x − 3 sin



2x − 2 = 0

[2 sin



2x + 1][sin


2x − 2] = 0

sin



2x = −½ atau sin

x = 2 [TM] TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.

Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.

Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.

sin



2x = −½

sin

2x = −sin 30°
K.III :      2x = 180° + 30°                      = 210°

x = 105°

K.IV :       2x = 360° − 30°                       = 330°

x = 165°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°}



sin x = – 1/

2 = – 1/2


2

x = 5π/4 + k . 2π atau x = [π – 5π/4] + k . 2π

x = 5π/4 + k . 2π atau x = – π/4 + k . 2π

k = 0 maka x = 5π/4 + 0 . 2π = 5π/4 dan x = – π/4 + 0 . 2π = – π/4

k = 1 maka x =13π/4 dan x = 7π/4

Jadi himpunan penyelesaiannya {5π/4, 7π/4}

[-
π
/4 dan 13
π
/4 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0



x



2

π
]


Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah…

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos²[90-75]° + cos²75° + cos²[90-55]° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2
——-> [identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]

Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah…

sin[x-600]° = cos[x-450]°

sin[x-600]° = sin[90 – [x-450]]°

sin[x-600]° = sin[540 – x]°

= tan [360 + 210]° = tan 210°

= tan [180 + 30]° —–> Kuadran III

Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah…

[sinx + cosx]² = [-1/5]² —–> [Kuadratkan kedua ruas.]

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25

sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 —–> [Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]

[aturan sudut rangkap sin


2x = 2


sin


x


cos


x].

Nilai tanx dari persamaan cos2x – 3sinx – 1 = 0 adalah…

[mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx].

sinx = 0 atau -2sinx – 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

[sinx = -3/2 tidak memenuhi]

maka nilai tan x = tan 0° = 0

Baca Juga :   Bagaimana cara menentukan titik tetap atas dan titik tetap bawah pada termometer skala Celcius?

Dari pecahan [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β], sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.

cot β . sec2 β = [cos β/ sinβ] . sec2 β



cot

β

. sec2

β

= [cos

β
/ sin

β
].[1/cos2

β
]



cot

β

. sec2

β

= cos

β

/ sin β.cos2 β

Setelah digabung kembali diperoleh :

[1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = [1/sin2 β] / [cos β / sinβ.cos2 β]



[1 + cot2

β
] / [cot

β

. sec2

β
] = [1/sin2

β
] . [sin

β
.cos2

β

/ cos

β
]



[1 + cot2

β
] / [cot

β

. sec2

β
] = sin

β
.cos2

β

/ sin2

β
.cos β



[1 + cot2

β
] / [cot

β

. sec2

β
] = cos

β

/ sin

β



[1 + cot2

β
] / [cot

β

. sec2

β
] = cot

β



Jadi, [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] =
cot β.

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

[sin α – cos α]2 = sin2 α – 2 sin α. cos α +
cos2 α



[sin

α

– cos

α
]2 = sin2

α

+
cos2

α

– 2 sin

α
. cos

α



[sin

α

– cos

α
]2 = 1 – 2 sin

α
. cos

α

[sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α = 1 – 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α



[sin

α

– cos

α
]2 + 2 sin

α

cos

α

= 1

Jadi, [sin α – cos α]2 + 2 sin α cos α =
1.

Dari identitas sin2 β +  cos2 β = 1, maka diperoleh :



1 – cos2 β = sin2 β
Jadi, 1 – cos2 β =
sin2 β.

Dari identitas sin2 α +  cos2 α = 1, maka sin2 α  = 1 – cos2 α.



sin2 α –  cos2 α = 1 – cos2 α – cos2 α

sin2 α –  cos2 α = 1 – 2 cos2 α Karena 2 cos2 α – 1 = cos 2α, maka 1 – 2 cos2 α = – cos 2α.



sin2 α –  cos2 α = -cos 2α
Jadi, sin2 α –  cos2 α =
-cos 2α.

Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α – 1



tan2 α – 1 = sec2 α – 1 – 1




tan2 α – 1 = sec2 α – 2

Sin2 α – 2 sin α cos α + sin2 α = sin2 α + cos2 α – 2 sin α cos α



sin2 α- 2 sin α cos α + cos2 α = 1 -2 sin α cos α





sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α = 1 – sin 2 α






Jadi, sin2 α -2 sin α cos α + cos2 α = 1 –sin 2 α

cos [3x + 30] = 1/2


3cos [3x + 30] = cos 30

3x + 30 = ±30 + k . 360
: 3

x = k . 120 atau x = – 20 + k . 120

k = 0 maka x = 0 dan x = – 20

k = 1 maka x = 120 dan x = 100

k = 2 maka x = 240 dan x = 220

k = 3 maka x = 360 dan x = 340

Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}


2.


tan [2x – 40] – cot 50 = 0

tan [2x – 40] = cot [90 – 40]

Jadi himpunan penyelesaiannya {40, 130, 220, 310}


3.


Sin [A + B] – sin [A – B] = 2 cos A . cos B

sin [2x + 120] – sin [2x + 240] = 2 cos 1/2 [2x + 120 + 2x + 240] sin 1/2 92x + 120 – 2x – 240]

2 cos [2x + 180] sin [-60] = – 3/2

2 cos [2x + 180] . – 1/2


3 = – 3/2

cos [2x + 180] = 3/2

3 = 1/2


3

x = – 75 + k . 180 atau x = -105 + k . 180

k = 0 maka x = – 75 dan x = – 105

k = 1 maka x = 105 dan x = 75

k = 2 maka x = 285 dan x = 255

Jadi himpunan penyelesaiannya {75, 105, 255, 285}


4.


Sin A + sin B = 2 sin 1/2 [A + B] cos 1/2 [A – B]

sin x + sin y = 2 sin 1/2 [x + y] cos 1/2 [x – y] = 1

2 sin 1/2 . 60 cos 1/2 [x – y] = 1

2 sin 30 cos 1/2 [x – y] = 1

2 . 1/2 cos 1/2 [x – y] = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya {30 + k . 360, 30 – k . 360}


5.


cos



2x

− 3 cos



x + 2 = 0
2 cos2


x − 1

− 3 cos


x

+ 2 = 0
2 cos2


x

− 3 cos



x + 1 = 0
[2 cos



x − 1][cos


x

− 1] = 0
cos



x = ½ atau cos


x

= 1 Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.

cos


x

= ½

cos



x = cos



60

°

K. I   :        x = 60°

K. IV :       x = 360° − 60°                      = 300°

cos



x = 1
cos



x = cos



0

°

K.I   :        x = 0°

K.IV :       x = 360° − 0°                     = 360°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°}


6.



1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3



1/3 [sin2 α + cos2 α] = 1/3



1/3 [1] = 1/3



1/3 = 1/3
Terbukti.


7.


3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α

Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 – 3 sin2 α.



3 cos2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α



3 – 3 sin2 α – 2 = 1 – 3 sin2 α



1 – 3 sin2 α = 1 – 3 sin2 α.
Terbukti.


8.


3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α

Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 – 5 cos2 α.



3 + 5 sin2 α = 8 – 5 cos2 α



3 + 5 – 5 cos2 α = 8 – 5 cos2 α



8 – 5 cos2 α = 8 – 5 cos2 α.
Terbukti.


9.

Dari rumus tan α = sin α / cos α, diperoleh sin α = tan α . cos α.



[tan

α

. cos

α
]2 + cos2 α = 1



tan2 α . cos2 α + cos2 α = 1



[tan2 α + 1] cos2 α = 1

Ingat bahwa 1/cos α = sec α, sehingga :



tan2 α + 1 = sec2 α



1 + tan2 α = sec2 α


10.


Dari rumus cot α = cos α / sin α, diperoleh cos α = cot α . sin α.





sin2 α + [cot α . sin α]2 = 1

Ingat bahwa 1/sin α = cosec α, sehingga :



1 + cot2 α = cosec2 α Terbukti.


Sekian dan trimakasih, bila ada kesalahan mohon maaf

Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 cosx-√3=0 untuk 0^o≤x≤360^o adalah

Posted by: pskji.org