Persegi panjang ABCD di samping panjang AB 20 cm dan panjang AC 25 cm maka panjang BC adalah

Persegi panjang ABCD di samping panjang AB 20 cm dan panjang AC 25 cm maka panjang BC adalah

Rumus Phytagoras merupakan salah satu metode menghitung yang cukup terkenal dan berguna dalam ilmu matematika. Nama phytagoras merujuk pada seorang matematikawan Yunani yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Mengutip p4tkmatematika.kemdikbud.go.id, Phytagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema sudah diketahui lebih dahulu oleh matematikawan India, Yunani, Tionghoa, dan Babilonia jauh sebelum Phytagoras lahir.

Ide dari rumus ini adalah mengungkapkan panjang serta hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga siku-siku. Jika diketahui dua buah sisi (a) dan (b), maka dapat diketahui pula jarak terpendek antara kedua sisi dengan menghitung hipotenusa atau sisi miring (c) dari segitiga siku-siku.

Rumus Phytagoras

Penggunaan rumus phytagoras sangat penting dalam ilmu matematika, khususnya pada geometri. Adapun rumus umum phytagoras yaitu:

C2 = a2 + b2

Rumus Phytagoras (Buku Matematika Kelas VII)

Advertising

Advertising

Dalam teorama yang dikemukakan oleh Phytagoras, sisi miring atau dalam gambar di atas, sisi (c), disebut dengan hipotenusa.

Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi (a) + luasan persegi dari panjang sisi (b) = luasan panjang dari sisi (c). Luasan digunakan gunakan untuk membuktikan rumus teorema phytagoras. Maka, a2 + b2 = c2.

Phytagoras menyatakan setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang siku-sikunya. Jika (c) adalah panjang sisi miring segitiga, (a) dan (b) adalah panjang sisi siku-siku.

Berdasarkan teorema phytagoras di atas, diperoleh hubungan:

c2 = a2 + b2

Dalil pythagoras tersebut dapat diturunkan menjadi:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Adapun rumus phytagoras dalam bentuk akar, sebagai berikut:

a = √c2 – b2

b = √c2 – a2

c = √a2 + b2

Dalam menentukan persamaan phytagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai sisi miring.

Triple Phytagoras

Triple phytagoras yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”

Contoh:

3, 4 dan 5 adalah triple phytagoras sebab, 52 = 42 + 32

Contoh tripel phytagoras yang paling sederhana dan sering digunakan pada sekolah dasar dan sekolah menengah adalah 3, 4, dan 5 atau 5, 12, dan 13.

Penting untuk diperhatikan bahwa, jika (a), (b), dan (c) merupakan triple phytagoras dan (k) suatu bilangan bulat positif maka (ka), (kb), dan (kc) juga merupakan triple phytagoras, karena:

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2

Dengan demikian, cukup mencari triple phytagoras dasar, yaitu tripel bilangan bulat positif (a), (b), dan (c) yang tidak mempunyai faktor sekutu selain 1 dan memenuhi persamaan .

Contoh:

3, 4, dan 5 merupakan triple phytagoras dasar, sedangkan 6, 8, dan 10 bukan, karena 6, 8, dan 10 mempunya faktor sekutu selain 1, yaitu 2.

Baca Juga :   Permukaan cairan pada bejana memiliki tinggi yang sama karena

Ciri-ciri Segitiga Siku-Siku

  • Memiliki 1 buah sudut sebesar 90o yaitu ∠BAC.
  • Mempunyai dua buah sisi yang saling tegak lurus yaitu BA dan AC.
  • Memiliki satu buah sisi miring yaitu BC yang disebut hipotenusa.
  • Sisi miring ada di depan sudut siku-siku.
  • Memiliki dua buah sudut lancip.
  • Punya tiga ruas garis AB, AC, dan BC.
  • Tiga sudut ada dalam segitiga jika jumlah hasilnya 180o.
  • Pada segitiga siku-siku berlaku teorema phytagoras. Teorema phytagoras merupakan rumus untuk mencari berapa panjang sisi miring dari segitiga siku-siku. Sisi miring ini berada di depan sudut siku-siku.

Contoh Soal Rumus Phytagoras

Mengutip dari Zenius dan sumber terkait lainnya, berikut beberapa contoh soal dan pembahasan tentang teorema phytagoras.

1. Diketahui alas segitiga siku-siku adalah 5 m dan tinggi segitiga 12 m. Berapakah sisi miring atau hipotenusa (c)?

Jawaban:

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

25 + 144 = c2

√169 = c

c = 13 m

Jadi, panjang hipotenusa segitiga tersebut adalah 13 meter.

2. Sebuah segitiga siku-siku ABC memiliki tinggi BC 9 cm dan alas AC 12 cm. Hitunglah sisi miring AB!

Jawaban:

AB2 = BC2 + AC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225

AB = √225

AB = 15

Jadi sisi miring AB adalah 15 cm.

3. Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi 5 cm, 7 cm dan 8 cm?

Jawaban:

Diketahui : sisi terpanjang adalah 8 cm, maka:

a = 8 cm, b = 7 cm dan c = 5 cm

a2 = 82 = 64

b2 + c2 = 72 + 52

b2 + c2 = 49 + 25

b2 + c2 = 74

karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip.

4. Segitiga ABC siku-siku di titik a, diketahui panjang AB = 3 cm dan AC = 4 cm. Hitunglah panjang BC!

Jawaban:

BC2  =  AB2  +  AC2

=  32 +  42

= 9  +  16

= 25

BC  = √25 = 5

Jadi panjang BC = 5 cm.

Sebelum Anda mempelajari soal berikut ini, alangkah baiknya anda mempelajari terlebih dahulu materi
luas dan keliling layang-layang
dan
teorema Pythagoras
karena itu merupakan konsep dasar yang digunakan untuk menjawab soal di bawah ini dan juga agar tidak terjadi miskonsepsi nantinya. Kalau sudah mempelajari teorinya berikut Mafia Online berikan contoh soal dengan pembahasannya tentang cara mencari keliling dan luas layang-layang.


Soal 1


Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan sebuah layang-layang dengan panjang sisi yang berdekatan berturut-turut adalah 9 cm dan 12 cm. Hitunglah keliling layang-layang tersebut!

Penyelesaian:

keliling layang dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang.

Keliling = 2 (BC + CD)

Keliling = 2 (12 cm + 9 cm)

Keliling = 2 (21 cm)

Keliling = 42 cm


Soal 2

Perhatikan gambar layang-layang PQRS di bawah ini!


Jika


PQR siku-siku, hitunglah
luas layang-layang PQRS tersebut.

Baca Juga :   Jelaskan klasifkasi hukum berdasarkan kepustakaan ilmu hukum ! (Jawabannya)

Penyelesaian:

Karena


PQR siku-siku maka luas layang-layang tersebut dapat dicari dengan menggunkan rumus
luas segitiga, dengan alas = QR = 18 m dan tinggi = PQ = 13 m. Dari bangun layang-layang PQRS terdapat dua segitiga siku-siku yaitu

Δ
PQR dan

Δ
PRS dengan luas yang sama, maka luas layang-layang dapat dicari dengan menjumlahkan dua luas segitiga siku-siku yakni:

Luas PQRS = Luas

Δ
PQR + Luas

Δ
PRS

Luas PQRS = 2 x Luas

Δ
PQR

Luas PQRS = 2 x ½ x QR x PQ

Luas PQRS = 2 x ½ x 18 m x 13 m

Luas PQRS = 234 m2


Soal 3

Hitunglah luas layang-layang yang panjang diagonal-diagonalnya sebagai berikut.

a. 8 cm dan 12 cm

b. 9 cm dan 16 cm

c. 15 cm dan 18 cm

d. 13 cm dan 21 cm

Penyelesaian:

a. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 8 cm x 12 cm

L = 48 cm2

b.

Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 9 cm x 16 cm

L = 72 cm2

c.

Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 15 cm x 18 cm

L = 135 cm2

d.

Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 13 cm x 21 cm

L = 136,5 cm2


Soal 4

Perhatikan gambar layang ABCD di bawah ini.

Jika panjang AC = 24 cm, panjang BC = 20 cm dan luas ABCD = 300 cm2, maka tentukanlah panjang AD dan keliling layang-layang ABCD.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang AD terlebih dahulu cari panjang BD dengan menggunkan
rumus luas layang-layang
yaitu:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x BD x AC

300 cm2 = ½ x BD x 24 cm

BD = 300 cm2/12 cm

BD = 25 cm

Sekarang cari panjang BO dengan rumus
teorema Pythagoras
yaitu:

BO =


(BC2 – CO2)

BO =


(202 – 122)

BO =


(400 – 144)

BO =


(256)

BO =

16 cm

Sekarang cari panjang DO yaitu:

DO = BD – BO

DO = 25 cm – 16 cm

DO = 9 cm

Dengan menggunkan rumus Phytagoras maka panjang AD dapat dicari yaitu:

AD =


(AO2 + DO2)

AD =


(122 + 92)

AD =


(144 + 81)

AD =


(225)

AD =

15 cm

Keliling bangun layang-layang ABCD dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang tersebut.

keliling = 2 (AD+BC)

keliling = 2 (15 cm + 20 cm)

keliling = 2 (35 cm)

keliling = 70 cm


Soal 5

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika diketahui XZ = 9 cm, WZ = 9 cm, dan VZ = 24 cm. Hitunglah luas layang-layang VWXY.

Penyelesaian:

Dari gambar tersebut didapat panjang WY = 2 x WZ = 18 cm

Luas VWXY = Luas

Δ
VWY – Luas

Δ
WXY

Luas VWXY = ½ x WY x VZ – ½ x WY x XZ

Luas VWXY = ½ x WY (VZ – XZ)

Luas VWXY = ½ x 18 cm (24 cm – 9 cm)

Baca Juga :   Inti gerakan guling depan adalah menggulingkan tubuh ke

Luas VWXY = 135 cm2


Soal 6

Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm2. Jika diagonal d1 dan d2 memiliki perbandingan d1 : d2 = 2 : 3, tentukan panjang diagonal d1 dan d2.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang diagonal d1 dan d2 bisa kita gunakan
rumus luas layang-layang
yaitu:

L = ½ x d1 x d2

192 cm2 = ½ x d1 x d2

192 cm2 = ½ x d1 x d2

384 cm2 = d1 x d2

Masing-masing panjang d1 dan d2 dapat dicari dengan
konsep perbandingan
dimana d1 : d2 = 2 : 3, maka dapat kita misalkan: d1 = 2x dan d2 = 3x, dengan memasukan ke rumus luas sebelumnya sehingga di dapat:

384 cm2 = d1 x d2

384 cm2 = 2x x 3x

384 cm2 = 6×2

x2 =

384 cm2/6

x2 =

64 cm2

x =


64 cm2

x =

8 cm

Dengan memasukan kepersamaan tadi maka panjang d1 dan d2 di dapat:

d1 = 2x = 2.8 cm = 16 cm

d2 = 3x = 3.8 cm = 24 cm


Soal 7

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan sebuah bangun layang-layang PQRS. Jika diketahui panjang PR = 16 cm, QS = (x + 3) cm, dan luas PQRS = 112 cm2. Tentukan panjang QS.



Penyelesian:

Cari nilai x dengan menggunakan konsep
luas layang-layang, yakni:


L = ½ x PR x QS

112 cm2 = ½ x 16 cm x (x + 3) cm

112 = 8x + 24

8x = 88

x = 11






Masukan nilai x ke persamaan QS =

(x + 3) cm, maka panjang QS yakni:

QS = (x + 3) cm

QS = (11 + 3) cm

QS = 14 cm

Jadi panjang QS adalah 14 cm.


Soal 8

Perhatikan gambar di berikut ini.

Diketahui titik K, L, M, dan N masing-masing adalah titik tengah dari PQ, QO, RO, dan SO. Jika panjang 2QS = 3PR dan luas layang-layang PQRS adalah 60 cm2. Tentukan perbandingan luas PQRS dengan KLMN.

Penyelesaian:

Dari soal diketahui:

2QS = 3PR

QS = 3PR/2

Cari panjang PR dengan rumus
luas layang-layang, yakni:

Luas = ½ x PR x QS

60 cm2 =  ½ x PR x 3PR/2

60 cm2 =  3PR2/4

PR2 = 80 cm2

PR = 4

5 cm




Sekarang cari panjang QS, yakni:

QS = 3PR/2

QS = 3. 4

5 cm/2

QS = 6

5 cm

Karena layang-layang KLMN merupakan setengah diagonal layang-layang PQRS maka:

NO = ½ x 6

5 cm = 3

5 cm

OP = ½ x 4

5 cm = 2

5 cm

maka luas layang-layang KLMN adalah:

Luas = ½ x NO x OP

Luas = ½ x 3

5 cm x 2

5 cm

Luas = 15 cm2

Luas PQRS : Luas KLMN = 60 cm2 : 15 cm2 = 2 : 1




Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasannya tentang cara mencari keliling dan luas bangun layang-layang. Mohon maaf jika ada kata ataupun perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia.

Persegi panjang ABCD di samping panjang AB 20 cm dan panjang AC 25 cm maka panjang BC adalah

Posted by: pskji.org