Salah satu persamaan garis singgung yang bergradien min 2 pada lingkaran yang memiliki persamaan

Persamaan garis singgung pada lingkaran dapat dicari jika diketahui gradien dari garis singgung tersebut.

Oleh

Tju Ji Long
· Statistisi

Kita telah mempelajari bagaimana mencari persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran dan suatu titik di luar lingkaran. Namun, tak jarang informasi yang ada tidak menunjukkan letak titik tersebut melainkan hanya diketahui gradien dari garis singgung yang ingin kita cari. Jika demikian halnya, kita tidak bisa mencari persamaan garis singgung seperti yang telah kita bahas.

Oleh karena itu, pada artikel ini kita akan belajar bagaimana mencari persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui gradien dari garis singgung tersebut.

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah \( x^2 + y^2 = r^2 \). Persamaan garis singgung terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) dengan gradien \(m\) dapat ditentukan sebagai berikut:

1. Misalkan persamaan garis dengan gradien \(m\) adalah \( y = mx + n \)
2. Substitusikan \( y = mx + n \) ke persamaan lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \), sehingga diperoleh

Dapat Anda lihat bahwa persamaan ini adalah suatu persamaan kuadrat dengan variabel x. Garis menyinggung lingkaran, artinya diskriman dari persamaan kuadrat tersebut sama dengan nol (persamaan kuadrat mempunyai akar kembar).

Setelah itu, \(n\) disubstitusikan ke dalam persamaan garis \( y = mx + n \).

Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien \(m\) terhadap lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan garis singgung yang bergradien -2 terhadap lingkaran \(x^2+y^2=16\).

Pembahasan:

Diketahui: \(m = -2\) dan \(r = 4\). Dengan demikian,

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \( y = -2x + 4\sqrt{5} \) dan \( y = -2x – 4\sqrt{5} \)

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien \(m\) terhadap Lingkaran yang Berpusat di M(a,b)

Kita tahu bahwa lingkaran yang berpusat di M(a,b) mempunyai persamaan \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \). Sekarang amatilah Gambar 1!. Lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) mempunyai garis singgung g.

Gambar 1. Garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)

1. Jika lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) ditranslasikan dengan \( \left( {\begin{array}{rr} -a \\ -b \end{array} } \right) \) maka diperoleh lingkaran dengan persamaan \( x^2 + y^2 = r^2 \) dan garis g menjadi g’ (garis singgung di \( x^2 + y^2 = r^2 \)).
2. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran \( x^2 + y^2 = r^2 \) adalah g’ dengan persamaan:



3. Jika garis g’ ditranslasikan dengan \( \left( {\begin{array}{rr} -a \\ -b \end{array} } \right) \) maka akan menjadi garis g dengan persamaan



4. Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) adalah

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran \(x^2+y^2-6x+8y+9=0\) yang tegak lurus dengan garis \(4x – 3y + 7 = 0\).

Pembahasan:

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Persamaan bentuk umum lingkaran diubah ke dalam persamaan lingkaran yang dapat diketahui pusat dan jari-jarinya sehingga:



Didapatkan:



2. Tentukan gradien dari persamaan garis \( 4x-3y + 7 = 0 \)



Persamaan garis singgung yang akan dicari tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 7 = 0. Diketahui syarat garis saling tegak lurus adalah \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) maka didapat



3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan gradien garis \( m_2 \) yang telah diperoleh, yaitu



atau

Cukup sekian penjelasan mengenai cara mencari persamaan garis singgung lingkaran berdasarkan gradien garis singgung lingkaran tersebut dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Persamaan lingkaran dengan puat (0,0) adalah x2 + y2 = R2

Garis singgung pada lingkaran ini adalah

Persamaan lingkaran dengan puat (0,0) adalah (x — a)2 + (y — b)2 = R2

Garis singgung pada lingkaran ini adalah

Jika lingkaran berupa bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0 maka garis singgungnya adalah

dengan

Contoh Soal 1 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 180 dengan gradien 2 adalah …..

Jawab :

R2 = 180 maka

m = 2

y = 2x± 30

y = 2x + 30 atau y = 2x — 30

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x — 4)2 + (y + 2)2 = 250 yang bergradien 3 adalah …..

Jawab :

Pusat (4, -2) maka a = 4 dan b = -2

R2 = 250 maka

m = 3

y + 2 = 3x — 12 ± 50

y = 3x — 14 ± 50

y = 3x — 14 + 50 atau y = 3x — 14 — 50

y = 3x + 36 atau y = 3x — 64

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2  — 4x + 6y — 55 = 0 yang bergradien 4 adalah …..

Jawab :

A = — 4 B = 6 C = -55

m = 4

y + 3 = 4x — 8 ± 34

y = 4x — 11 ± 34

y = 4x — 11 + 34 atau y = 4x — 11 – 34

y = 4x + 23 atau y = 4x — 45

Contoh Soal 4 :

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 6)2 + (y – 5)2 = 98 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif adalah …

Jawab :

R2 =98 maka

Pusat (- 6, 5) maka a = -6 dan b = 5

m = tan 45o = 1

y — 5 = x + 6 ± 14

y — 5 = x + 6 + 14 atau y – 5 = x + 6 — 14

y = x + 25 atau y = x — 3

Contoh Soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x — 2y — 10 = 0 yang sejajar dengan garis y = 2x + 9

Jawab :

A = 6 B = -2 C = -10

gradien garis y = 2x + 9 adalah 2

karena garis singgung yang kita buat sejajar dengan y = 2x + 9 maka gradiennya adalah 2 juga

m = 2

y — 1 = 2x + 6 ± 10

y — 1 = 2x + 6 + 10 atau y — 1 = 2x + 6 – 10

y = 2x + 17 atau y = 2x — 3

Contoh Soal 6 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 8x + 4y — 20 = 0 yang tegak lurus dengan garis 2x + 6y = 5 adalah …

Jawab :

A = -8 B = 4 C = -20

gradien garis 2x + 6y = 5 bisa dihitung dengan cara

2x + 6y = 5

6y = -2x + 5

sehingga

karena saling tegak lurus maka

m1.m2 = -1

m2 = 3

y + 2 = 3x — 12 ± 20

y + 2 = 3x — 12 + 20 atau y + 2 = 3x — 12 – 20

y + 2 = 3x + 6 atau y = 3x – 34

Contoh Soal 7:

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 13 yang ditarik dari titik (1, 5) adalah …

Jawab :

Garis melalui (1, 5) sehingga persamaannya menjadi

Jika kedua ruas dikuadratkan maka

25 — 10m + m2 = 13 + 13m2

12m2 + 10m — 12 = 0

6m2 + 5m — 6 = 0

(3m — 2)(2m + 3) = 0

m=2/3 atau m = -3/2

Nilai m harus kita subtitusi ke

untuk memastikan positif atau negatinya

Ketika kita subtitusikan ke 5 — m ternyata keduanya positif.

Ini berarti kita hanya akan memakai rumus yang positif

Untuk m = 2/3 maka

Jika kedua ruas dikali 3 maka

3y = 2x + 13

2x — 3y + 13 = 0

Untuk m = -3/2 maka

Jika kedua ruas dikali 2 maka

2y = -3x + 13

3x + 2y — 13 = 0